Он родился в Гомеле 20 апреля 1905 года. В 1924 году вступил в ряды Красной Армии. Там, дослужился до командира отделения и подал рапорт о направлении на учёбу. После окончания учёбы начал командовать взводом, потом ротой, и батальоном. В 30-х годах с отличием закончил Военную Академию им. Фрунзе и получил назначение на командно-преподавательскую работу в танковое училище.

Когда началась война, был направлен в Ворошиловград для подготовки города к обороне. С июня по октябрь 1942 года был начальником штаба 169-й танковой бригады. В тяжелые дни боев под Сталинградом принял командование 13-й танковой бригадой. После боев под Сталинградом бригада участвовала в боях в Миллерово, форсировала Дон, принимала участие в сокрушении Миус-фронта, затем освобождала населенные пункты Донбасса. Неоднократно, проявив отвагу и мужество, бригада Гринкевича, получила звание «Гвардейской», многие из экипажей боевых машин были награждены знаками отличия, а Франц Андреевич получил три ордена: Красной Звезды, Красного Знамени, Отечественной войны. 

В 1943 году первый батальон прорвал линию обороны под хутором Веселым недалеко от Красноармейска, обошел город справа и вышел на дорогу Красноармейск–Сталино. Сходу преодолев сопротивление немцев примерно за 3–5 км от города, ворвался в Сталино: сначала на вокзал, потом на железнодорожную станцию. И здесь немцы оказали сильное сопротивление. Маневрируя между домами, танковый батальон наносил удары по немцам. Бой продолжался несколько часов. При одном из маневров танк подорвался на мине, в результате чего вышел из строя двигатель, была сорвана гусеница. До темноты отбивались от нападающих немцев, выручила подоспевшая пехота, которая единым броском опрокинула немцев, и бой отошел к центру города.

Полученное ранение оказалось смертельным для Франца Гринкевича. Лучшие хирурги фронта боролись за жизнь командира, но спасти его не удалось. Франц Гринкевич умер 11 октября 1943 года в селе Харьково Запорожской области. Гвардейцы-танкисты с почестями похоронили своего командира в городе, который он освобождал. Своими руками бойцы подняли на могильный холм боевой танк, заклинили орудия и гусеницы и после троекратного прощального салюта отправились в бой.

Несколько раз памятник менял место дислокации. Сейчас он находится в Ворошиловском районе в сквере Театральной площади, расположенном между театром оперы и балета и гостиницей «Донбасс Палас». И представляет собой боевой танк Т-34, установленный на высоком гранитном постаменте. За время своего существования памятник несколько раз поменял свой внешний вид, как постамент, так и модель танка.

На городских праздничных мероприятиях посвящённых Дню Победы к памятнику Гринкевичу возлагаются цветы.